Question

【題目】己知函數(shù).

（1)試討論f（x）的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)有且只有三個不同的零點，分別記為x1，x2，x3，設(shè)x1＜x2＜x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)m≤0時，函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)m>0時， 函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞增，函數(shù)在(，+∞)上單調(diào)遞減；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對m分類討論，解得導(dǎo)函數(shù)大于0及小于0的范圍，即可得到單調(diào)性．

（2）由條件可將問題轉(zhuǎn)化函數(shù)y=m的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點.分析可得0<x1<e，x3>e．令，則t∈．由，解得 構(gòu)造，t∈，利用導(dǎo)函數(shù)轉(zhuǎn)化求解即可．

（1）函數(shù)的定義域為(0，+∞).

由已知可得．

當(dāng)m≤0時，>0，故在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)m>0時，由>0，解得；由 0，解得．

所以函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，+∞)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)m≤0時，函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)m>0時， 函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞增，

函數(shù)在(，+∞)上單調(diào)遞減.

（2）∵ 函數(shù)g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三個不同的零點，

顯然x=e是其零點，

∴ 函數(shù)存在兩個零點，即有兩個不等的實數(shù)根．

可轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間(0，+∞)上有兩個不等的實數(shù)根，

即函數(shù)y=m的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點.

∵ ，

∴ 由>0，解得，故在上單調(diào)遞增；

由<0，解得x>e，故在(e，+∞)上單調(diào)遞減；

故函數(shù)y=m的圖象與的圖象的交點分別在(0，e)，(e，+∞)上，

即lnx-mx=0的兩個根分別在區(qū)間(0，e)，(e，+∞)上，

∴ g(x)的三個不同的零點分別是x1，e，x3，且0<x1<e，x3>e．

令，則t∈．

由，解得

故，t∈．

令，則．

令，則．

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即>．

所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，

即≤=，

所以，即x1x3≤，

所以x1x3的最大值為．