已知橢圓數(shù)學公式經(jīng)過點M(-2,-1),離心率為數(shù)學公式.過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q.
(I)求橢圓C的方程;
(II)試判斷直線PQ的斜率是否為定值,證明你的結(jié)論.

(Ⅰ)解:由題設,∵橢圓經(jīng)過點M(-2,-1),離心率為
,①且=,②
由①、②解得a2=6,b2=3,
∴橢圓C的方程為.…(6分)
(Ⅱ)證明:記P(x1,y1)、Q(x2,y2).
設直線MP的方程為y+1=k(x+2),與橢圓C的方程聯(lián)立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,
∵-2,x1是該方程的兩根,∴-2x1=,即x1=
設直線MQ的方程為y+1=-k(x+2),同理得x2=.…(9分)
因y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),
故kPQ====1,
因此直線PQ的斜率為定值.…(12分)
分析:(Ⅰ)根據(jù)橢圓經(jīng)過點M(-2,-1),離心率為,確定幾何量之間的關(guān)系,即可求得橢圓C的方程;
(Ⅱ)記P(x1,y1)、Q(x2,y2),設直線MP的方程為y+1=k(x+2),與橢圓C的方程聯(lián)立,求得x1=,同理得x2=,再利用kPQ=,即可證得結(jié)論.
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查橢圓的幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,確定橢圓的方程,聯(lián)立方程組是關(guān)鍵.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年河北省唐山市高三上學期摸底考試理科數(shù)學試卷 題型:解答題

(本小題滿分12分)

已知橢圓經(jīng)過點M(-2,-1),離心率為。過點M作傾斜角

 

互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q。

(I)求橢圓C的方程;

(II)能否為直角?證明你的結(jié)論;

(III)證明:直線PQ的斜率為定值,并求這個定值。

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2013屆福建省高二上學期期末考試理科數(shù)學 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知橢圓經(jīng)過點M(2,1),O為坐標原點,平行于OM的直線ly軸上的截距為mm≠0) 

(1)當 時,判斷直線l與橢圓的位置關(guān)系;

(2)當時,P為橢圓上的動點,求點P到直線l距離的最小值;

(3)如圖,當l交橢圓于A、B兩個不同點時,求證:

直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形 

 

 

 

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科目:高中數(shù)學 來源:0119 期中題 題型:解答題

已知橢圓經(jīng)過點M(2,1),O為坐標原點,平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),
(1)當m=3時,判斷直線l與橢圓的位置關(guān)系(寫出結(jié)論,不需證明);
(2)當m=3時,P為橢圓上的動點,求點P到直線l距離的最小值;
(3)如圖,當l交橢圓于A、B兩個不同點時,求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年廣東省廣州市實驗中學高二(上)期中數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知橢圓經(jīng)過點M(2,1),O為坐標原點,平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0).
(1)當m=3時,判斷直線l與橢圓的位置關(guān)系(寫出結(jié)論,不需證明);
(2)當m=3時,P為橢圓上的動點,求點P到直線l距離的最小值;
(3)如圖,當l交橢圓于A、B兩個不同點時,求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學 來源:2012年江西省吉安市高考數(shù)學二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓經(jīng)過點M(-2,-1),離心率為.過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q.
(I)求橢圓C的方程;
(II)∠PMQ能否為直角?證明你的結(jié)論;
(III)證明:直線PQ的斜率為定值,并求這個定值.

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