【題目】已知函數(shù)，.

（1）函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為2，求的值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)為、，證明：.

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.

（2）令，化簡，判別式，討論的正負(fù)，從而確定的正負(fù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.

（3）由（2）可知，，，由，，求出，利用換元法令，將不等式轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證出函數(shù)在單調(diào)遞增，由即可證出.

（1），，∴

（2）令即，

當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，，，

，，

在，單調(diào)遞增

在單調(diào)遞減.

（3）由（2）可知，，，

，

令

則，只需證明

，（只需證明即可）

，

∴，在單調(diào)遞增

，得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著新高考改革的不斷深入，高中學(xué)生生涯規(guī)劃越來越受到社會的關(guān)注.一些高中已經(jīng)開始嘗試開設(shè)學(xué)生生涯規(guī)劃選修課程，并取得了一定的成果.如表為某高中為了調(diào)查學(xué)生成績與選修生涯規(guī)劃課程的關(guān)系，隨機(jī)抽取50名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).

成績優(yōu)秀

成績不夠優(yōu)秀

總計(jì)

選修生涯規(guī)劃課

15

10

25

不選修生涯規(guī)劃課

6

19

25

總計(jì)

21

29

50

（1）根據(jù)列聯(lián)表運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法能否有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績是否優(yōu)秀與選修生涯規(guī)劃課有關(guān)”，并說明理由；

（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在選修生涯規(guī)劃課的成績優(yōu)秀和成績不夠優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生作為代表，從5名學(xué)生代表中再任選2名學(xué)生繼續(xù)調(diào)查，求這2名學(xué)生成績至少有1人優(yōu)秀的概率.

參考附表：

P（K2≥k）

0.100

0.050

0.010

0.001

k

2.706

3.841

6.635

10.828

參考公式，其中n＝a+b+c+d.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且當(dāng)n∈N*時(shí)，an3+an2(1﹣an+1)+1＝an+1．

（1）求a2，a3的值；

（2）比較an與an+1的大小，并證明你的結(jié)論．

（3）若bn＝(1)，其中n∈N*，證明：0＜b1+b2+……+bn＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】生男生女都一樣，女兒也是傳后人.由于某些地區(qū)仍然存在封建傳統(tǒng)思想，頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿，現(xiàn)隨機(jī)抽取某地200戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì).這200戶家庭中，頭胎為女孩的頻率為0.5，生二孩的頻率為0.525，其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數(shù)為60.

（1）完成下列列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為是否生二孩與頭胎的男女情況有關(guān)；

生二孩

不生二孩

合計(jì)

頭胎為女孩

60

頭胎為男孩

合計(jì)

200

（2）在抽取的200戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶，進(jìn)一步了解情況，在抽取的7戶中再隨機(jī)抽取4戶，求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：

0.15

0.05

0.01

0.001

2.072

3.841

6.635

10.828

（其中）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，短軸長為2，過定點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)，之間）.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若射線交橢圓于點(diǎn)（為原點(diǎn)），求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題的展開式中，僅有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為495；命題隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則．現(xiàn)給出四個(gè)命題：①，②，③，④，其中真命題的是（ ）

A.①③B.①④C.②③D.②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣sinx+ax（a＞0）．

（1）若a＝1，求證：當(dāng)x∈（1，）時(shí)，f（x）＜2x﹣1；

（2）若f（x）在（0，2π）上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求的極大值點(diǎn)；

（2）當(dāng)，時(shí)，若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，.

（1）求線段中點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于、兩點(diǎn)，，求的取值范圍.

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