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(2012•威海二模)在等比數列{an}中,a2=
1
4
,a3a6=
1
512
.設bn=log2
a
2
n
2•log2
a
2
n+1
2
,
T
 
n
為數列{bn}的前n項和.
(Ⅰ)求an和Tn
(Ⅱ)若對任意的n∈N*,不等式λTn<n-2(-1)n恒成立,求實數λ的取值范圍.
分析:(Ⅰ)先確定等比數列的公比,再利用等比數列的通項公式求通項,進而利用裂項法求數列{bn}的前n項和;
(Ⅱ)分類討論:①當n為偶數時,由λTn<n-2恒成立得λ<(2n-
2
n
-3)min
;②當n為奇數時,由λTn<n+2恒成立得λ<(2n+
2
n
+5)min
,由此可得實數λ的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)設{an}的公比為q,由a3a6=a22q5=
1
16
q5=
1
512
q=
1
2
,
an=a2qn-2=(
1
2
)n
.----------------------------------(2分)

bn=log2
a
2
n
2•log2
a
2
n+1
2=log(
1
2
)
2n-1
2•lo
g
2n+1
_(
1
2
)
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

Tn=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
.----(5分)
(Ⅱ)①當n為偶數時,由λTn<n-2恒成立得,λ<
(n-2)(2n+1)
n
=2n-
2
n
-3
恒成立,
λ<(2n-
2
n
-3)min
,----------------------------------(6分)
2n-
2
n
-3
隨n的增大而增大,∴n=2時(2n-
2
n
-3)min=0
,
∴λ<0;----------------------------------(8分)
②當n為奇數時,由λTn<n+2恒成立得,λ<
(n+2)(2n+1)
n
=2n+
2
n
+5
恒成立,
λ<(2n+
2
n
+5)min
,-----------------------------------(9分)
2n+
2
n
+5≥2
2n•
2
n
+5=9
,當且僅當2n=
2
n
⇒n=1
等號成立,
∴λ<9.---------------------------------------(11分)
綜上,實數λ的取值范圍(-∞,0).----------------------------------------(12分)
點評:本題考查等比數列的通項,考查恒成立問題,考查分類討論的數學思想,考查求最值,屬于中檔題.
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AM
AN
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3
4
,
2
3
1
4
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x+ξ
2
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