Question

有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是P（萬元）和Q（萬元），它們與投入資金x（萬元）的關系有經(jīng)驗公式：P=

x

5

，Q=

4

5

x

．今有5萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別應為多少？能獲得最大利潤是多少？

Answer 1

分析：設投入乙種商品投資x萬元，則對甲種商品投資（5-x）萬元，利用題中P與Q的關系，即可列出利潤y與x之間的關系式y=

1

5

(5-x)+

4

5

x

，再利用換元法，令t=

x

，將函數(shù)轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質，即可確定最值，從而求得答案．

解答：解：設對乙種商品投資x萬元，則對甲種商品投資（5-x）萬元，總利潤為y萬元，
∴根據(jù)題意得，y=

1

5

(5-x)+

4

5

x

（0≤x≤5），
令t=

x

，
∴x=t²，且0≤t≤

5

，
∴y=

1

5

(5-t2)+

4

5

t=-

1

5

(t-2)2+

9

5

，（0≤t≤

5

）
∴當t=2時，ymax=

9

5

，此時x=4，5-x=1，
∴為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品投資分別為1萬元和4萬元，獲得的最大利潤為1.8萬元．

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型；（3）利用數(shù)學的方法，得到數(shù)學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數(shù)學模型．本題建立了數(shù)學模型后，運用換元法轉化成二次函數(shù)的最值問題．屬于中檔題．