Question

如圖（1）所示，正△ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點．現(xiàn)將△ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD⊥平面BCD（如圖（2）），
（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求三棱錐C-DEF的體積．

Answer 1

分析：（1）判斷：AB∥平面DEF，再由直線與平面平行的判定定理進行證明．
（2）過點E作EM⊥DC于點M，由面ACD⊥面BCD，面ACD∩面BCD=CD，而EM?面ACD，知EM是三棱錐E-CDF的高，由此能求出三棱錐C-DEF的體積．

解答：解：（1）判斷：AB∥平面DEF，（2分）
證明：因在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，
∴EF∥AB，（5分）
又因AB?平面DEF，
∴EF?平面DEF，（6分）
所以AB∥平面DEF，（7分）
（2）過點E作EM⊥DC于點M，
∵面ACD⊥面BCD，面ACD∩面BCD=CD，而EM?面ACD
故EM⊥平面BCD  于是EM是三棱錐E-CDF的高，（9分）
又△CDF的面積為S_△CDF=

1

2

S△BCD=

1

2

•

1

2

•CD•BD=

1

4

(2a)2-a2

•a=

3

4

a2，
EM=

1

2

AD=

1

2

a，（11分）
故三棱錐C-DEF的體積VC-DEF=VE-CDF=

1

3

S△CDF•EM=

1

3

•

3 a2

4

•

1

2

a=

3 a3

24

．（14分）

點評：本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問題為平面問題．