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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經過點A（2，1），離心率為
2
2
．過點B（3，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
BM
•
BN
的取值范圍；
（Ⅲ）設直線AM和直線AN的斜率分別為kAM和kAN，求證：kAM+kAN為定值．
（Ⅰ）由題意得
4
a2
+
1
b2
=1
a2=b2+c2
c
a
=
2
2
.
，解得a=
6
，b=
3
．故橢圓C的方程為
x2
6
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）由題意顯然直線l的斜率存在，設直線l方程為y=k（x-3），
由
y=k(x-3)
x2
6
+
y2
3
=1
得（1+2k2）x2-12k2x+18k2-6=0．
因為直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，所以△=144k4-4（1+2k2）（18k2-6）=24（1-k2）＞0，解得-1＜k＜1．
設M，N的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則x1+x2=
12k2
1+2k2
，x1x2=
18k2-6
1+2k2
，
y1=k（x1-3），y2=k（x2-3）．
所以
BM
•
BN
=(x1-3)(x2-3)+y1y2
=（1+k2）[x1x2-3（x1+x2）+9]=
3+3k2
1+2k2
=
3
2
+
3
2(1+2k2)
．
因為-1＜k＜1，所以2＜
3
2
+
3
2(1+2k2)
≤3．
故
BM
•
BN
的取值范圍為（2，3]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得kAM+kAN=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x2-2

=
(kx1-3k-1)(x2-2)+(kx2-3k-1)(x1-2)
(x1-2)(x2-2)
=
2kx1x2-(5k+1)(x1+x2)+12k+4
x1x2-2(x1+x2)+4

=
2k(18k2-6)-(5k+1)•12k2+(12k+4)(1+2k2)
18k2-6-24k2+4(1+2k2)
=
-4k2+4
2k2-2
=-2．
所以kAM+kAN為定值-2．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(1，
2
2
)，離心率為
2
2
，左、右焦點分別為F1、F2．點P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點．設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）證明：
1
k1
-
3
k2
=2；
（Ⅱ）問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

過x軸上動點A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ，P、Q為切點．
（1）若切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2，求證：k1•k2為定值，并求出定值；
（2）求證：直線PQ恒過定點，并求出定點坐標；
（3）當
S△APO
PQ
最小時，求
AQ
•
AP
的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
4
+
y2
3
=1和拋物線C2：y2=2px（p＞0），過點M（1，0）且傾斜角為
π
3
的直線與拋物線交于A、B，與橢圓交于C、D，當|AB|：|CD|=5：3時，求p的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的焦點為F1（-1，0）、F2（1，0），點P（-1，
2
2
）在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若拋物線E：y2=2px（p＞0）與橢圓C相交于點M、N，當△OMN（O是坐標原點）的面積取得最大值時，求P的值．
（3）在（2）的條件下，過點F2作任意直線l與拋物線E相交于點A、B兩點，則直線AF1與直線BF1的斜率之和是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知點P(-1，
3
2
)是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF1⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設A、B是橢圓E上兩個動點，是否存在λ，滿足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距離為
5
？若存在，求λ值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點B、C的坐標為B（-2，0），C（2，0），直線AB，AC的斜率乘積為-
1
4
，設頂點A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設曲線E與y軸負半軸的交點為D，過點D作兩條互相垂直的直線l1，l2，這兩條直線與曲線E的另一個交點分別為M，N．設l1的斜率為k（k≠0），△DMN的面積為S，試求
S
|k|
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，將圓p：x2+y2=4上任意一點P′的縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄M坐標不變），得到點P，并設點P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）設o為坐標原點，過點Q（
3
，0）的直線l與曲線C交于兩點A，B，線段AB的中點為N，且
OE
=2
ON
，點E在曲線C上，求直線l：
x
a
+
y
b
=1的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，設點F坐標為（1，0），點P在y軸上運動，點M在x軸運動上，其中
PM
•
PF
=0，若動點N滿足條件
PN
=
MP

（Ⅰ）求動點N的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點F（1，0）的直線l和l′分別與曲線E交于A、B兩點和C、D兩點，若l⊥l′，試求四邊形ACBD的面積的最小值．

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同步練習冊答案