【題目】定義在[﹣1,1]上的函數(shù)f(x)滿足:①對任意a,b∈[﹣1,1],且a+b≠0,都有 >0成立;②f(x)在[﹣1,1]上是奇函數(shù),且f(1)=1.
(1)求證:f(x)在[﹣1,1]上是單調遞增函數(shù);
(2)解關于x不等式f(x)<f( x+1);
(3)若f(x)≤m2﹣2am﹣2對所有的x∈[﹣1,1]及a∈[﹣1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:任取x1、x2∈[﹣1,1],且x1<x2

則f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2

>0,x1﹣x2<0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0.

則f(x)是[﹣1,1]上的增函數(shù).


(2)解:若f(x)<f( x+1),則﹣1≤x< x+1≤1,

解得:x∈[﹣1,0],

故不等式f(x)<f( x+1)的解集為[﹣1,0];


(3)解:要使f(x)≤m2﹣2am﹣2對所有的x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,

只須f(x)max≤m2﹣2am﹣2,即1≤m2﹣2am﹣2對任意的a∈[﹣1,1]恒成立,

亦即m2﹣2am﹣3≥0對任意的a∈[﹣1,1]恒成立.

令g(a)=m2﹣2am﹣3,

只須 ,

解得m≤﹣3或m≥3.


【解析】(1)利用函數(shù)單調性的定義進行證明:在區(qū)間[﹣1,1]任取x1、x2 , 且x1<x2 , 利用函數(shù)為奇函數(shù)的性質結合已知條件中的分式,可以證得f(x1)﹣f(x2)<0,所以函數(shù)f(x)是[﹣1,1]上的增函數(shù).(2)根據(jù)(1)中單調性,可得﹣1≤x< x+1≤1,解得答案;(3)根據(jù)函數(shù)f(x)≤m2﹣2am﹣2對所有的x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,說明f(x)的最大值1小于或等于右邊,因此先將右邊看作a的函數(shù),m為參數(shù)系數(shù),解不等式組,即可得出m的取值范圍.
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)單調性的性質,掌握函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集即可以解答此題.

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滿意度評分

滿意度等級

不滿意

基本滿意

滿意

非常滿意

已知滿意度等級為基本滿意的有340人.

(1)求表中的值及不滿意的人數(shù);

(2)在等級為不滿意的師生中,老師占,現(xiàn)從該等級師生中按分層抽樣抽取12人了解不滿意的原因,并從中抽取3人擔任整改督導員,記為老師整改督導員的人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.

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X

1

2

3

4

P

m

則P(|X﹣3|=1)=(
A.
B.
C.
D.

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(Ⅱ)該商場記錄了去年夏天(共10周)空調器需求量n(單位:臺),整理得表:

周需求量n

18

19

20

21

22

頻數(shù)

1

2

3

3

1

以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,若商場周初購進20臺空調器,X表示當周的利潤(單位:元),求X的分布列及數(shù)學期望.

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2099

49

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42

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