Question

6．雙曲線C的中心在原點，右焦點為F（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)點P是雙曲線上任一點，該點到兩漸近線的距離分別為m、n．證明m•n是定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可求出雙曲線的方程，
（2）設(shè)P（x₀，y₀），根據(jù)點到直線的距離公式，即可求出m，n，計算m•n即可．

解答 解：（1）右焦點為F（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x．
∴c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
∵c²=a²+b²，
∴a²=$\frac{1}{3}$，b²=1，
∴雙曲線C的方程位3x²-y²=1
（2）設(shè)P（x₀，y₀），已知漸近線的方程為：$y=±\sqrt{3}x$
該點到一條漸近線的距離為：$m=\frac{{|{\sqrt{3}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{3+1}}}$
到另一條漸近線的距離為$n=\frac{{|{\sqrt{3}{x_0}+{y_0}}|}}{{\sqrt{3+1}}}$，
$m•n=\frac{{3{x_0}^2-{y_0}^2}}{2×2}=\frac{1}{4}$是定值．

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)和點到直線的距離公式和定值問題，屬于中檔題