Question

【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓C：的離心率為，連接橢圓四個頂點形成的四邊形面積為4．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點A（1，0）的直線與橢圓C交于點M, N,設(shè)P為橢圓上一點，且O為坐標(biāo)原點，當(dāng)時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，先利用離心率、、四邊形的面積列出方程，解出a和b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，討論直線MN的斜率是否存在，當(dāng)直線MN的斜率存在時，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，得到、，利用列出方程，解出，代入到橢圓上，得到的值，再利用，計算出的范圍，代入到的表達(dá)式中，得到t的取值范圍．

試題解析：（1），，即．

又，．

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意知，當(dāng)直線MN斜率存在時，

設(shè)直線方程為，，

聯(lián)立方程消去y得，

因為直線與橢圓交于兩點，

所以恒成立，

，

又，

因為點P在橢圓上，所以，

即，

又，

即，整理得：，

化簡得：，解得或（舍），

，即．

當(dāng)直線MN的斜率不存在時，，此時，

．