Question

遞增等比數(shù)列{a_n}中a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，S₂是a₂，a₃的等差中項(xiàng)：
（Ⅰ）求S_n及a_n；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n=logan2•logan+12+

2

25

log2an，{b_n}的前n項(xiàng)和為Tn，求

Tn

n

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出公比q，利用S₂是a₂，a₃的等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)，求出q，然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和即可求S_n及a_n；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ），求出數(shù)列{b_n}滿足b_n=logan2•logan+12+

2

25

log2an的表達(dá)式，通過裂項(xiàng)法直接求{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，然后利用基本不等式求

Tn

n

的最小值．

解答：解（Ⅰ）設(shè)公比為q   S₂是a₂，a₃的等差中項(xiàng)，所以2S₂=a₂+a₃，
⇒4（1+q）=2q+2q²，q=2，
∴a_n=2ⁿ，
S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．…（6分）
（Ⅱ）b_n=logan2•logan+12+

2

25

log2an
=log2n 2log2n+12+

2

25

log22n
=

1

n(n+1)

+

2n

25

，
b_n=

1

n(n+1)

+

2n

25

=

1

n

-

1

n+1

+

2n

25

，
∴T_n=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+ …+

1

n

-

1

n+1

+

2

25

(1+2+3+… +n)
=

n

n+1

+

n(n+1)

25

，
∴

Tn

n

=

n n+1 + n(n+1) 25

n

=

1

n+1

+

n+1

25

≥2

1 n+1 × n+1 25

=

2

5

，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)等號成立．…．（12分）

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列求和的常用方法--裂項(xiàng)法，基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式中等號成立的條件．