Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB=60°，AB=2，E為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）在棱AB上是否存在點(diǎn)F，使EF與平面PDC成角正弦值為

15

5

，若存在，確定線段AF的長(zhǎng)度，不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì),點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用面面垂直，可得線面垂直，從而可得線線垂直，進(jìn)而可得線面垂直，即可證得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用使EF與平面PDC成角正弦值為

15

5

，建立方程，即可確定線段AF的長(zhǎng)度．

解答： （1）證明：連接PE，EB，
因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，E為AD的中點(diǎn)，
所以PE⊥平面ABCD，PE⊥AD…（2分）
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠DAB=60°，E為AD的中點(diǎn)，
所以BE⊥AD…（4分）
因?yàn)镻E∩BE=E，所以AD⊥面PBE，所以AD⊥PB…（6分）
（2）解：以E為原點(diǎn)，EA，EB，EP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系…（7分）
則A(1，0，0)，B(0，

3

，0)，C(-2，

3

，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，

3

)
因?yàn)辄c(diǎn)F在棱AB上，設(shè)F(x，

3

(1-x)，0)，面PDC法向量

u

=(a，b，c)
因?yàn)?span id="yz71air" class="MathJye">

u

•

DP

=a+

3

c=0，

u

•

DC

=-a+

3

b=0
所以

u

=(

3

，1，-1)，…（9分）
所以|cos＜

u

，

EF

＞|=

3

5 x2+3(1-x)2

=

15

5

，解得x=

1

2

，…（11分）
所以存在點(diǎn)F，AF=1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直、線面垂直的性質(zhì)與判斷，考查空間角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．