Question

10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E．若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得F，A，B的坐標(biāo)，設(shè)出直線AE的方程為y=k（x+a），分別令x=-c，x=0，可得M，E的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得H的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，結(jié)合離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：由題意可設(shè)F（-c，0），A（-a，0），B（a，0），
令x=-c，代入橢圓方程可得y=±$\frac{^{2}}{a}$，可得P（-c，±$\frac{^{2}}{a}$）．
設(shè)直線AE的方程為y=k（x+a），
令x=-c，可得M（-c，k（a-c）），令x=0，可得E（0，ka），
設(shè)OE的中點(diǎn)為H，可得H（0，$\frac{ka}{2}$），
由B，H，M三點(diǎn)共線，可得k_BH=k_BM，即$\frac{a-c}{a+c}$=$\frac{1}{2}$，即為a=3c，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線方程的運(yùn)用和三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．