Question

已知圓C的圓心為C（m，0），m＜3，半徑為

5

，圓C與橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)有一個公共點A（3，1），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點．
（1）求圓C的標準方程
（2）若點P的坐標為（4，4），試探究斜率為k的直線PF₁與圓C能否相切，若能，求出橢圓E和直線PF₁的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可設圓C的方程為（x-m）²+y²=5（m＜3），將點A的坐標代入圓C的方程，得（3-m）²+1=5．由此能求出圓C的方程．
（2）直線PF₁能與圓C相切，設直線PF₁的方程為y=k（x-4）+4，若直線PF₁與圓C相切，則k=

11

2

，或k=

1

2

．當k=

11

2

時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為

36

11

，不合題意，當k=

1

2

時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為-4，由此能求出橢圓E的方程．

解答：解：（1）由已知可設圓C的方程為（x-m）²+y²=5（m＜3）
將點A的坐標代入圓C的方程，得（3-m）²+1=5
即（3-m）²=4，解得m=1，或m=5
∵m＜3∴m=1
∴圓C的方程為（x-1）²+y²=5．（6分）
（2）直線PF₁能與圓C相切
依題意設直線PF₁的方程為y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0
若直線PF₁與圓C相切，則

|k-0-4k+4|

k2+1

=

5

∴4k²-24k+11=0，解得k=

11

2

，或k=

1

2

當k=

11

2

時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為

36

11

，不合題意，舍去
當k=

1

2

時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為-4，
∴c=4，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）
∴由橢圓的定義得：2a=|AF1|+|AF2|=

(3+4)2+12

+

(3-4)2+12

=5

2

+

2

=6

2

∴a=3

2

，即a²=18，∴b²=a²-c²=2
直線PF₁能與圓C相切，直線PF₁的方程為x-2y+4=0，橢圓E的方程為

x2

18

+

y2

2

=1．（14分）

點評：本題考查圓的方程和橢圓方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．