Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到直線l：x＝2的距離是到點(diǎn)F(1,0)的距離的倍．
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)設(shè)直線FP與(1)中曲線交于點(diǎn)Q，與l交于點(diǎn)A，分別過點(diǎn)P和Q作l的垂線，垂足為M，N，問：是否存在點(diǎn)P使得△APM的面積是△AQN面積的9倍？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）x²＋2y²＝2（2）存在點(diǎn)P為(0，±1)

(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．
由題意知＝|2－x|，化簡(jiǎn)，得x²＋2y²＝2，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²＋2y²＝2.
(2)設(shè)直線FP的方程為x＝ty＋1，點(diǎn)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，因?yàn)椤?i>AQN∽△APM，所以有PM＝3QN，由已知得PF＝3QF，所以有y₁＝－3y₂，①
由得(t²＋2)y²＋2ty－1＝0，Δ＝4t²＋4(t²＋2)＝8>0
y₁＋y₂＝－②，y₁·y₂＝－③，由①②③得t＝－1，y₁＝1，y₂＝－或t＝1，y₁＝－1，y₂＝，所以存在點(diǎn)P為(0，±1)．