已知三點(diǎn)P(1,2),Q(2,1),R(3,2),過原點(diǎn)作一直線,使得點(diǎn)P,Q,R到此直線的距離的平方和最小,求此直線方程.
分析:①當(dāng)直線的斜率存在時,由題意,可設(shè)所求直線方程為y=kx,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)P,Q,R到直線的距離平方和t=
(k-2)2
k2+1
+
(2k-1)2
k2+1
+
(3k-2)2
k2+1
,即(t-14)k2+20k+(t-9)=0,對t分類討論;即可得出t的最小值;
②當(dāng)直線的斜率不存在時,直線為y軸,3點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的平方和為14,不是最小值.
解答:解:①當(dāng)直線的斜率存在時,由題意,可設(shè)所求直線方程為y=kx,
設(shè)點(diǎn)P,Q,R到直線的距離平方和為t,則t=
(k-2)2
k2+1
+
(2k-1)2
k2+1
+
(3k-2)2
k2+1
=
14k2-20k+9
k2+1
,即(t-14)k2+20k+(t-9)=0,
當(dāng)t=14時,k=-
1
4
;當(dāng)t≠14時,由△≥0,可得
23-5
17
2
≤t≤
23+5
17
2

②當(dāng)直線的斜率不存在時,直線為y軸,3點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的平方和為14,不是最小值.
綜上可知:t的最小值為
23-5
17
2
,此時k=
-1+
17
4

故直線的方程為y=
17
-1
4
x
點(diǎn)評:熟練掌握直線的方程、點(diǎn)到直線的距離公式、一元二次方程與判別式的關(guān)系、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵.
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已知三點(diǎn)P(5,2),F(xiàn)1(-6,0),F(xiàn)2(6,0).
(1)求以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn),且過點(diǎn)P的橢圓方程;
(2)求以F1,F(xiàn)2為頂點(diǎn),以(1)中橢圓長軸端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程.

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已知三點(diǎn)P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)
(1)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P、F1、F2關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)分別為P′、
F
1
F
2
,求以
F
1
F
2
為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P′的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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