Question

在等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中，a₁=b₁=2，a₂=b₂=2+b，S_n是{b_n}前n項(xiàng)和．
（1）若

lim

n→∞

Sn=3-b，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）是否存在正整數(shù)b，使得數(shù)列{b_n}的所有項(xiàng)都在數(shù)列{a_n}中？若存在，求出所有的b，若不存在，說(shuō)明理由；
（3）是否存在正實(shí)數(shù)b，使得數(shù)列{b_n}中至少有三項(xiàng)在數(shù)列{a_n}中，但{b_n}中的項(xiàng)不都在數(shù)列{a_n}中？若存在，求出一個(gè)可能的b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件先求出表示q，因?yàn)?span id="ueumqco" class="MathJye">

lim

n→∞

Sn有意義有意義所以0＜|q|＜1，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可表示出

lim

n→∞

Sn，然后解方程

2

1-(1+ b 2 )

=3-b，可得b的值；
（2）分情況可證明當(dāng)b取偶數(shù)（b=2k，k∈N*）時(shí)，{b_n}中所有項(xiàng)都是{a_n}中的項(xiàng)，當(dāng)b取奇數(shù)（b=2k+1，k∈N*）時(shí)，b_n不是整數(shù)，數(shù)列{b_n}的所有項(xiàng)都不在數(shù)列{a_n}中；
（3）假設(shè)存在b滿足題意，由b₁，b₂在{a_n}中可推出：{b_n}中至少存在一項(xiàng)b_m（m≥3）在{a_n}中，另一項(xiàng)b_t（t≠m）不在{a_n}中． 建立關(guān)系b_m=a_k得2(1+

b

2

)m-1=2+(k-1)b，嘗試取m和k的值即可．

解答： 解：（1）對(duì)等比數(shù)列{b_n}，公比q=

2+b

2

=1+

b

2

．
∵

lim

n→∞

Sn有意義，
∴0＜|q|＜1，
∴-4＜b＜0．
又∵Sn=

2[1-(1+ b 2 )n]

1-(1+ b 2 )

，
∴

lim

n→∞

Sn=

2

1-(1+ b 2 )

=3-b．
解方程

2

1-(1+ b 2 )

=3-b，
得b=4或-1．
因?yàn)?4＜b＜0，所以b=-1．　
（2）當(dāng)b取偶數(shù)（b=2k，k∈N*）時(shí)，{b_n}中所有項(xiàng)都是{a_n}中的項(xiàng)．
證：由題意：b₁，b₂均在數(shù)列{a_n}中，
當(dāng)n≥3時(shí)，bn=2(

2+b

2

)n-1=2(k+1)n-1=2(

C

0 n-1

kn-1+

C

1 n-1

kn-2+…+

C

n-2 n-1

k1+

C

n-1 n-1

)
=2+2k[(

C

0 n-1

kn-2+

C

1 n-1

kn-3+…+

C

n-2 n-1

+1)-1]
∴{b_n}的第n項(xiàng)是{a_n}中的第

C

0 n-1

kn-2+

C

1 n-1

kn-3+…+

C

n-2 n-1

+1項(xiàng)．
當(dāng)b取奇數(shù)（b=2k+1，k∈N*）時(shí)，
∵b_n不是整數(shù)，
∴數(shù)列{b_n}的所有項(xiàng)都不在數(shù)列{a_n}中．
綜上，所有的符合題意的b=2k（k∈N^*）．
（3）假設(shè)存在b滿足題意，
∵b₁，b₂在{a_n}中，
∴{b_n}中至少存在一項(xiàng)b_m（m≥3）在{a_n}中，
另一項(xiàng)b_t（t≠m）不在{a_n}中． 
由b_m=a_k得2(1+

b

2

)m-1=2+(k-1)b，
不妨取m=4得2(1+

b

2

)3=2+(k-1)b，即（b+2）²=4（k-2）．
不妨也取k=4，得b=2

2

-2（舍負(fù)值）．此時(shí)b₄=a₃． 
當(dāng)b=2

2

-2時(shí)，b₃=8，an=2+(n-1)(2

2

-2)，對(duì)任意n，a_n≠b₃
綜上，b=2

2

-2可以滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，極限的意義，存在性問(wèn)題的解決技巧，分析問(wèn)題和處理數(shù)據(jù)的能力，屬于難題．