Question

【題目】已知圓周上有七個(gè)不同的點(diǎn)，以其中任意一點(diǎn)為始點(diǎn)，另一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，作出所有的向量（對于點(diǎn)、，若作出向量，則不再作向量）.若其中某四點(diǎn)所確定的凸四邊形的四條邊是首尾相接的四個(gè)向量，則稱其為“零四邊形”.試求以這七個(gè)點(diǎn)中四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸四邊形中，零四邊形個(gè)數(shù)的最大值

Answer 1

【答案】28

【解析】

設(shè)圓周上這七個(gè)點(diǎn)分別為，，…，.以點(diǎn)為始點(diǎn)的向量個(gè)數(shù)為，則，且.

先求在個(gè)凸四邊形中“非零四邊形”個(gè)數(shù)的最小值．

易知非零四邊形只有如下兩類情形：

第一類：有且只有一個(gè)頂點(diǎn)是兩邊向量的始點(diǎn)的非零四邊形（如圖）.

第二類：恰有兩個(gè)頂點(diǎn)是兩邊向量的始邊的非零四邊形（如圖）.

（1）當(dāng)整個(gè)圖形中含有第二類非零四邊形時(shí)，易知在第二類非零四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的基礎(chǔ)上，每增加一個(gè)點(diǎn)，則此五點(diǎn)形就比原四點(diǎn)形增加四個(gè)凸四邊形，且作圖易知這四個(gè)凸四邊形均是非零四邊形.

于是，在整個(gè)七點(diǎn)圖形中的35個(gè)凸四邊形中，若有一個(gè)是第二類非零四邊形，則在此非零四邊形的基礎(chǔ)上增加三點(diǎn)，至少要增加12個(gè)非零四邊形.由此知，此時(shí)圖中至少有13個(gè)非零四邊形.

（2）當(dāng)七點(diǎn)圖中不含第二類非零四邊形，即其中只含有第一類非零四邊形和零四邊形，則問題可轉(zhuǎn)化為只要求出其中第一類非零四邊形個(gè)數(shù)的最小值即可.

而第一類非零四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)中有且只有一個(gè)頂點(diǎn)是此非零四邊形的四個(gè)邊向量的兩個(gè)向量的始點(diǎn)，且這兩個(gè)向量夾有一個(gè)對角線向量.當(dāng)這三個(gè)向量確定時(shí)，則確定一個(gè)非零四邊形.從而，當(dāng)圖中不含第二類非零四邊形時(shí)，圖中含第一類非零四邊形的個(gè)數(shù)

.

因?yàn)?/span>，所以，有最小值.

若，，…，中有某個(gè)的值小于3，則其中必有的值大于或等于4.

而，，，又，則必有.

若，，…，均不小于3，由知，只有，.

下面通過作圖說明的圖形是存在的（如圖）

圖中共有七個(gè)非零四邊形.

①，②，

③；④，

⑤，⑥，

⑦.

故的最小值為.

因此，所求的零四邊形個(gè)數(shù)的最大值為.