Question

14．正四面體ABCD中，M是棱AD的中點(diǎn)，O是點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影，則異面直線BM與AO所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{5}$

Answer 1

分析 取BC中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，連結(jié)DE、BF，則由題意得DE∩BF=O，取OD中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN∥AO，從而∠BMN是異面直線BM與AO所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線BM與AO所成角的余弦值．

解答 解：取BC中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，連結(jié)DE、BF，則由題意得DE∩BF=O，
取OD中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN∥AO，
∴∠BMN是異面直線BM與AO所成角（或所成角的補(bǔ)角），
設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，由BM=DE=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，OD=$\frac{2}{3}DE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=$\sqrt{4-\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，∴MN=$\frac{1}{2}AO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∵O是點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影，MN∥AO，∴MN⊥平面BCD，
∴cos∠BMN=$\frac{MN}{BM}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴異面直線BM與AO所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查正四面體、線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．