Question

【題目】設(shè)函數(shù) ．
（1）若當 時，函數(shù) 的圖象恒在直線 上方，求實數(shù) 的取值范圍；
（2）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：令 ，則 ， ，
①當 時，由于 ，有 ，
于是 在 上單調(diào)遞增，從而 ，因此 在 上單調(diào)遞增，即 ；
②當 時，由于 ，有 ，
于是 在 上單調(diào)遞減，從而 ，
因此 在 上單調(diào)遞減，即 不符；
③當 時，令 ，當 時，
，于是 在 上單調(diào)遞減，
從而 ，因此 在 上單調(diào)遞減，
即 而且僅有 不符.
綜上可知，所求實數(shù) 的取值范圍是 .
（2）解：對要證明的不等式等價變形如下：
對于任意的正整數(shù) ，不等式 恒成立，等價變形
相當于（2）中 ， 的情形，
在 上單調(diào)遞減，即 ；
取 ，得：都有 成立；
令 得證．
【解析】本題主要考查利用導數(shù)在函數(shù)中求參數(shù)范圍的應(yīng)用，以及不等式的綜合應(yīng)用。（1）本題主要利用轉(zhuǎn)化的思想，先把圖像上方的函數(shù)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)求最值的問題，根據(jù)構(gòu)造的函數(shù)對m進行求解，要兩次利用導數(shù)來判斷新函數(shù)的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性求解參數(shù)m的取值范圍。（2）要證明不等式，要對不等式進行等價變形，仍然要利用函數(shù)的單調(diào)性求解。