Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，，分別是線(xiàn)段上的點(diǎn)，且，平面，側(cè)面底面．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：本題要證明線(xiàn)面平行以及求二面角，考慮到條件，側(cè)面底面．，因此取中點(diǎn)，有，這樣取中點(diǎn)后，易知兩兩垂直，因此以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，（1）只要求得平面的法向量，然后證明與法向量垂直（數(shù)量積為0）即可證明線(xiàn)面平行；（2）再求得的法向量，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值（注意判斷二面角是銳角還是鈍角，本題是鈍角）．

試題解析：設(shè)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

設(shè)，即，從而

顯然，，

，則要使平面，則且，

即，故，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為，即為中點(diǎn)．

（1）設(shè)平面的法向量，由于，，

由于，則，從而，

取

由于，從而，從而，

又平面，從而平面

（2）設(shè)平面的法向量，由于，

由于，則，從而，

取

又平面的法向量

設(shè)二面角的平面角的大小為

則

綜上所述，二面角的余弦值為．