Question

13．若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，且${a_{n+1}}=3{a_n}+2（{n∈{N^*}}）$；令b_n=log₃（a_n+1），則b₁+b₂+b₃+…+b₁₀₀=5050．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出{a_n+1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，從而得b_n=$lo{g}_{3}{3}^{n}$=n，由此能求出b₁+b₂+b₃+…+b₁₀₀．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，且${a_{n+1}}=3{a_n}+2（{n∈{N^*}}）$，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），a₁+1=3，
∴{a_n+1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}+1={3}^{n}$，
∴b_n=log₃（a_n+1）=$lo{g}_{3}{3}^{n}$=n，
∴b₁+b₂+b₃+…+b₁₀₀=1+2+3+…+100=$\frac{100（100+1）}{2}$=5050．
故答案為：5050．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前100項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．