Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若f（x）滿足下列條件：①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立；②當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，求f（x）的解析式；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），試證明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f（x₀）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]成立．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（-1+x）=f（-1-x）可得二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的對(duì)稱軸為x=-1，于是b=2a，再由f（x）_min=f（-1）=0，可得c=a，從而可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，可證得g（x₁）g（x₂）＜0，由零點(diǎn)存在定理可知存在x₀∈（x₁，x₂），使f（x₀）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]成立．

解答： 解：（1）∵x∈（0，5）時(shí)，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，
∴1≤f（1）≤2|1-1|+1=1，
∴f（1）=1；
∵f（-1+x）=f（-1-x），
∴f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的對(duì)稱軸為x=-1，
∴-

b

2a

=-1，b=2a．
∵當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)的最小值為0，
∴a＞0，f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的對(duì)稱軸為x=-1，
∴f（x）_min=f（-1）=0，
∴a=c．
∴f（x）=ax²+2ax+a．又f（1）=1，
∴a=c=

1

4

，b=

1

2

．
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²；
（2）令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，則
g（x₁）=f（x₁）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]
=

1

2

[f（x₁）-f（x₂）]，
g（x₂）=f（x₂）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]
=

1

2

[f（x₂）-f（x₁）]，
∵f（x₁）≠f（x₂）
∴g（x₁）g（x₂）＜0，所以g（x）=0在（x₁，x₂）內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根，
即存在x₀∈（x₁，x₂）使f（x₀）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)求解析式，里面有三個(gè)未知數(shù)所以要尋求三個(gè)條件來(lái)解，同時(shí)考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及運(yùn)算求解的能力．