分析 (1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),以及單調(diào)區(qū)間,可得最小值;
(2)由題意可得f(x)-1的解析式,運用零點存在定理可知f(x)-1=0在區(qū)間$(\frac{1}{e},1)$內(nèi)有實數(shù)解,從而在區(qū)間(0,1)內(nèi)有實數(shù)解;再由f(x)的導(dǎo)數(shù),即可判斷方程解的個數(shù);
(3)由(1)知:${(\frac{x}{3}-lnx)_{min}}=1-ln3$,可得x>0的不等式,取x0=6(M-1+ln3)>0,當(dāng)x>x0時,即可得證.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=$\frac{x}{k}$-lnx(k>0)的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{1}{k}-\frac{1}{x}=\frac{x-k}{kx}$,
當(dāng)0<x<k時,f'(x)<0,當(dāng)x>k時,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,k)單調(diào)遞減,在(k,+∞)單調(diào)遞增,
從而f(x)min=f(k)=1-lnk…(4分)
(2)k=2時,$f(x)-1=\frac{x}{2}-lnx-1$,
因為$f(\frac{1}{e})-1=\frac{1}{2e}>0$,$f(1)-1=-\frac{1}{2}<0$,且f(x)的圖象是連續(xù)的,
所以f(x)-1=0在區(qū)間$(\frac{1}{e},1)$內(nèi)有實數(shù)解,從而在區(qū)間(0,1)內(nèi)有實數(shù)解;
又當(dāng)x∈(0,1)時,$f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}<0$,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
從而f(x)-1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至多有一個實數(shù)解,
故f(x)-1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一實數(shù)解.…(8分)
(3)證明:由(1)知:${(\frac{x}{3}-lnx)_{min}}=1-ln3$,
所以x>0時,$\frac{x}{3}-1+ln3≥lnx$①
由$\frac{x}{2}-M>\frac{x}{3}-1+ln3$得:x>6(M-1+ln3)
所以x>6(M-1+ln3)>0時,$\frac{x}{2}-M>\frac{x}{3}-1+ln3$②
由①②知:取x0=6(M-1+ln3)>0,則當(dāng)x>x0時,
有$\frac{x}{2}-M>\frac{x}{3}-1+ln3≥lnx$即$\frac{x}{2}-M>lnx$成立.…(12分)
點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查函數(shù)零點定理的運用,以及不等式恒成立問題的解法,注意運用已知結(jié)論,考查化簡整理的運算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x+y-4=0 | B. | x-y+2=0 | C. | x+y+4=0 | D. | x-y-2=0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 57 | B. | 59 | C. | 61 | D. | 63 |
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男 | 女 | |
愛好 | 40 | 20 |
不愛好 | 20 | 30 |
A. | 再犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關(guān)” | |
B. | 再犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關(guān)” | |
C. | 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)” | |
D. | 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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