【題目】如圖所示,底面為菱形的直四棱柱被過三點的平面截去一個三棱錐(圖一)得幾何體(圖二),E的中點.

(1)F為棱上的動點,試問平面與平面是否垂直?請說明理由;

(2)設(shè),當(dāng)點F中點時,求銳二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)利用直四棱柱的幾何特征可知 ,B1D1⊥平面CEA1,從而平面平面CEA1 ;(2) 分別以所在直線為軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面與平面F的法向量,代入公式即可得到銳二面角的余弦值.

(1)平面平面,證明如下:

連接AC,BD相交于點O

因為底面ABCD為菱形,所以ACBD,

又因為直四棱柱上下底面全等,

所以由ACBD,

又因為CB=CD,

所以CB1=CD1.

因為EB1D1的中點,所以,

,所以B1D1平面CEA1,

又因為平面,

所以平面平面CEA1.

(2)連接OE,易知OE平面ABCD,所以OB,OCOE兩兩互相垂直,

所以分別以所在直線為軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,

O(0,0,0),.(7分)

設(shè)平面的法向量為,則

,

所以.

同理設(shè)平面F的法向量為

,

.

所以

所以

,

所以所求的銳二面角的余弦值為

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2

3

4

5

6

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

已知, .

(1)求,

(2)具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程;

(3)估計使用年限為10年時,維修費用約是多少?

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