Question

如圖，底面是矩形的四棱錐P-ABCD中AB=2，BC=

2

5

，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD．
（1）證明：側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；
（2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；
（3）求直線AB與平面PCD的距離．

Answer 1

分析：（1）證明BC⊥側(cè)面PAB，利用面面垂直的判定，可得側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；
（2）取AB中點(diǎn)E，連接PE、CE，則∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角，在Rt△PEC中，可求∠PCE；
（3）證明AB∥側(cè)面PCD，取CD中點(diǎn)F，連EF、PF，證明AB⊥平面PEF，從而可得平面PCD⊥平面PEF，作EG⊥PF，垂足為G，則EC⊥平面PCD，利用等面積可得結(jié)論．

解答：（1）證明：在矩形ABCD中，BC⊥AB   
又∵面PAB⊥底面ABCD，側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥側(cè)面PAB  
又∵BC?側(cè)面PBC
∴側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC                                （4分）
（2）解：取AB中點(diǎn)E，連接PE、CE  

又∵△PAB是等邊三角形，∴PE⊥AB
又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD，∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角
∵PE=

3

2

BA=

3

，CE=

BE2+BC2

=

3

∴在Rt△PEC中，∠PCE=45°為所求                          （8分）
（3）解：在矩形ABCD中，AB∥CD
∵CD?側(cè)面PCD，AB?側(cè)面PCD，∴AB∥側(cè)面PCD
取CD中點(diǎn)F，連EF、PF，則EF⊥AB    
又∵PE⊥AB，PE∩EF=E，∴AB⊥平面PEF   
又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PEF
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PEF    
作EG⊥PF，垂足為G，則EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=

PE•EC

PF

=

30

5

為所求．（12分）

點(diǎn)評：本題考查面面垂直，考查線面角，考查線面距離，掌握面面垂直的判定，正確作出線面角是關(guān)鍵．