Question

直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知，，若且橢圓的離心率，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線過橢圓的焦點(diǎn)（為半焦距），求直線的斜率的值；
（Ⅲ）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）三角形的面積為定值。證明見解析

(I)由e和橢圓過點(diǎn)可得到關(guān)于a,b的兩個(gè)方程，從而解出a,b值求出橢圓的方程.
(II) 設(shè)的方程為，由已知得：
=0，
然后直線方程與橢圓方程聯(lián)立消y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理建立關(guān)于k的方程求出k值.
(III)要討論AB斜率存在與不存在兩種情況.研究當(dāng)AB斜率存在時(shí)，由已知，得,又在橢圓上，所以,從而證明出為定值.
解：（Ⅰ）∵  ……2分
∴   
∴橢圓的方程為……………3分
（Ⅱ）依題意，設(shè)的方程為
由
顯然
      ………………5分
由已知得：
 
 
解得            ……………………6分
（Ⅲ）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即，
由已知，得
又在橢圓上，
所以
 ,三角形的面積為定值．………7分
②當(dāng)直線斜率存在時(shí)：設(shè)的方程為

必須 即
得到，        ………………9分
∵，∴
代入整理得：              …………………10分
   …………11分
    所以三角形的面積為定值． ……12分