Question

設函數f（x）=2cos（2x+）+（sinx+cosx）²．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）設A，B，C為△ABC的三個內角，若cosB=，f（+）=，且C為銳角，求sinA的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得：
f（x）=2cos（2x+）+（sinx+cosx）²
=cos2x-sin2x+（1+sin2x）
=cos2x+
所以函數f（x）的最大值為1+，最小正周期π．
（Ⅱ）由（I）可得：f（+）=cos（+C）+=-sinC+=，
所以sinC=，
因為C為銳角，所以C=，
又因為在△ABC中，cosB=，所以 sinB=，
所以 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==．
分析：（Ⅰ）由題意可得：f（x）=cos2x+，所以函數f（x）的最大值為1+，最小正周期π．
（Ⅱ）由（I）可得：f（+）=sinC+=，進而求出C=，由題意可得：cosB=，所以 sinB=，結合 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC即可得到答案．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握二倍角公式與兩角和與差的正弦余弦公式，以及三角函數的有關性質．