【題目】圓周上依次排列著共2013個不同的點,每個點染紅、藍、綠三色之一.在以任意兩個同色點為端點的圓弧上,與此兩端點異色的點的個數(shù)為偶數(shù)的染色方法稱為“好染色”問:所有好染色方法有多少種?

【答案】

【解析】

考慮一般的情形:

圓周上有n(奇數(shù),個不同的點時的好染色種數(shù).

顯然,三種單色染色方法是好染色.

接下來求非單色好染色.

設Y表示圓周上n個不同點時非單色好染色的集合,X表示圓周上n個不同點時任意相鄰兩點異色的染色方法的集合.

可建立集合X與Y之間的一一對應.

考慮圓周上2n(n為奇數(shù))邊形.設奇頂點的染色屬于集合定義每個偶頂點的顏色與其相鄰奇頂點不同.則得偶頂點的染色方法是好染色.

若以兩個同色點為端點的某一段圓弧之間沒有與端點同色的點,則稱這兩點為“最近同色點

顯然,一個染色方法為好染色點的充分必要條件為任意兩個最近同色點之間的異色點個數(shù)為偶數(shù).

先證明偶頂點的染色方法為一個好染色,即證明任意兩個最近同色點的偶頂點之間包含的偶頂點的個數(shù)為偶數(shù).

設M、N為任意兩個最近同色點的偶頂點(不妨設為紅色),且包含在M、N之間的偶頂點為k個.

當k=0時,則結(jié)論成立;

時,記k個偶頂點為,則在M、N之間還包含k+1個奇頂點,記為排列如下:.

因為點均不為紅色,所以,點A與的顏色不能為藍、綠(或綠、藍)(若出現(xiàn)上述兩種情形,則為紅色,與假設矛盾).又點不同色,則點中一個隔一個的為紅色.由點M、N為紅色,知點A、不為紅色.于是,點為紅色.從而,k為偶數(shù),即M、N中包含的異色頂點為偶數(shù)個.因此,偶頂點染色方法為好染色.故得到一個從集合X到Y(jié)的映射f.

再證明:f為一一對應.

(1)f為單射.記圓周上2n邊形為奇頂點,為偶頂點,其中i=1,2,…,n).

,且.

,因為為非單色好染色,所以,存在兩個相鄰異色偶頂點(不妨設為、).從而,得到a、b的對應這兩偶頂點之間的奇頂點的顏色相同.

a、b及f的定義,知,規(guī)定)三個頂點所染的顏色不同,換言之,為所染的顏色由、唯一確定,這樣由點、a、b及f下所染顏色分別相同得所染顏色也相同,再由、所染顏色分別相同得所染的顏色也相同,依此類推,在a、b下,點所染的顏色分別相同,即,這與假設矛盾.

因此,f為單射.

(2)f為滿射.

,設M、N是c中的相鄰異色偶頂點,則定義位于M、N之間的奇頂點不同于M、N的顏色.

為c中一串連續(xù)同色(不妨設為紅色)偶頂點,它們位于偶頂點M、N間.若M、N同色(不妨設為藍色),則k為偶數(shù)(若為奇數(shù),則兩同色點之間的異色點個數(shù)為奇數(shù),與好染色矛盾),此時,定義M、N之間所有奇頂點的的顏色依次為綠、藍、綠、……藍、綠.

M、N異色(不妨設M為藍色,N為綠色),則k為奇數(shù)(若不然,k為偶數(shù),則每一段連續(xù)同色點的偶頂點為偶數(shù)個.否則,不妨設沿方向存在點,若點與N重合,則n為偶數(shù),與n為奇數(shù)矛盾.若點與N不重合,則與相鄰的點C與M、N或之一同色,其之間所包含的異色點為奇數(shù).矛盾).此時,定義M、N之間所有奇頂點的的顏色依次為綠、藍、綠、……藍.如此定義的奇頂點染色方法,相鄰兩個奇頂點顏色相異.

最后計算集合X中元素的個數(shù).記表示對圓周上n個點的好的染色法的個數(shù).

,,則

故好染色方法總數(shù)為

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】有5人進入到一列有7節(jié)車廂的地鐵中,分別求下列情況的概率用數(shù)字作最終答案

恰好有5節(jié)車廂各有一人;

恰好有2節(jié)不相鄰的空車廂;

恰好有3節(jié)車廂有人.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】(理科)某中學為研究學生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關系,對該校200名高三學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間進行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)

將學生日均課外體育運動時間在上的學生評價為“課外體育達標”.

(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為 “課外體育達標”與性別有關?

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該校高三學生中,抽取3名學生,記被抽取的3名學生中的“課外體育達標”學生人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的數(shù)學期望.

獨立性檢驗界值表:

(參考公式: ,其中

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直,MCEAD的交點,,且

1)求證:平面

2)求三棱錐的體積.

3)求二面角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設關于的方程有兩個實根,函數(shù).

(1)的值;

(2)判斷在區(qū)間的單調(diào)性,并加以證明;

(3)均為正實數(shù),證明:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件不合格品,從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件,則( )

A.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有

B.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有

C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有

D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】”是“直線與直線平行”的( )

A. 充要條件 B. 充分而不必要條件

C. 必要而不充分條件 D. 既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在等差數(shù)列中, ,其前項和為,等比數(shù)列的各項均為正數(shù), ,且, .

(1)求數(shù)列的通項公式;

(2)令,設數(shù)列的前項和為,求)的最大值與最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若方程僅有一個解,則實數(shù)的取值范圍為( )

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案