Question

2．已知函數(shù)f（x）和g（x）是兩個定義在區(qū)間M上的函數(shù)，若對任意的x∈M，存在常數(shù)x₀∈M，使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x）=g（x₀，則稱f（x）與g（x）在區(qū)間M上是“相似函數(shù)”，若f（x）=2x²+ax+b與g（x）=x+$\frac{4}{x}$在[1，$\frac{5}{2}$]上是“相似函數(shù)”，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，$\frac{5}{2}$]上的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． $\frac{9}{2}$
• C． 6
• D． $\frac{89}{2}$

Answer 1

分析 利用求導(dǎo)，得到最大最小值，由此將不等式轉(zhuǎn)化為最值問題，由二次函數(shù)性質(zhì)得到最值．

解答 解：利用導(dǎo)數(shù)可知g（x）=x+$\frac{4}{x}$在[1，$\frac{5}{2}$]上的最小值為4，最大值為5，
對任意的x∈M，存在常數(shù)x₀∈M，使得g（x）≥g（x₀），
則g（x₀）=g（x）_min=4，此時x₀=2．
根據(jù)題意知f（x）_min=f（2）=4，二次函數(shù)f（x）=2x²+ax+b的頂點坐標為（2，4），
∴a=-8，b=12
∴f（x）=2（x-2）²+4，
∴f（x）在[1，$\frac{5}{2}$]上的最大值為f（x）_max=f（1）=6
故選C．

點評 本題考查函數(shù)求導(dǎo)，將不等式轉(zhuǎn)化為最值問題，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)．