5.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)證明:$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$<$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$≤$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{6}$.

分析 (Ⅰ)由an+1=2an+1變形為:an+1+1=2(an+1).利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.
(Ⅱ)$\frac{1}{2}$-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{2({2}^{n+1}-1)}$,即證:$\frac{1}{6}≤\sum{(\frac{1}{2}-\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}-1}})}<\frac{1}{3}$.利用數(shù)列的單調(diào)性及其放縮法即可證明.

解答 (Ⅰ)解:由an+1=2an+1變形為:an+1+1=2(an+1).
∴數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,公比為2,首項為2.
∴an+1=2n
∴${a_n}={2^n}-1$.
(Ⅱ)證明:$\frac{1}{2}$-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{2({2}^{n+1}-1)}$,即證:$\frac{1}{6}≤\sum{(\frac{1}{2}-\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}-1}})}<\frac{1}{3}$.
一方面,∵$\frac{1}{{2({2^{n+1}}-1)}}>0$,∴$\sum{(\frac{1}{2}-\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}-1}})}$遞增,∴$\sum{(\frac{1}{2}-\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}-1}})}≥\frac{1}{2}-\frac{{{2^1}-1}}{{{2^{1+1}}-1}}=\frac{1}{6}$.
另一方面,先證:$\frac{1}{{2({2^{n+1}}-1)}}≤\frac{1}{6}•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$,
∴$\sum{(\frac{1}{2}-\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}-1}})}≤\frac{1}{3}(1-\frac{1}{2^n})<\frac{1}{3}$,
綜上可得:$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$<$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$≤$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{6}$.

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、放縮法、數(shù)列的單調(diào)性,考查了等價轉(zhuǎn)化方法、推理能力與計算能力,屬于難題.

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(1)當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)F(x)=f(x)+$\frac{1}{2}$ax2+bx+$\frac{a}{x}$.對任意x∈(0,3],總有F′(x)≤$\frac{1}{2}$成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=0,b=-1時,方程f(x)=mx在區(qū)間[1,e2]內(nèi)有唯一實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍.

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①底面BFD1E的面積隨著x增大而增大;
②四棱錐B1-BFD1E的體積隨著x增大先增大后減少;
③底面BFD1E的面積隨著x增大先減少后增大;
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(Ⅱ)若p=2,q=-1,求數(shù)列{bm}的前2m項和公式;
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