Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若直線與曲線和分別交于兩點(diǎn)直線，且曲線在處的切線與在處的切線相互平行，求正數(shù)的最大值；

（2）若有三個不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）問題可轉(zhuǎn)化為在有解，也就是在有解，考慮的圖像與直線有公共點(diǎn)即可得到參數(shù)的最大值.

（2）因為有三個不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)必有兩個不同的極值點(diǎn)，也就是導(dǎo)函數(shù)必有兩個不同的零點(diǎn)，從而.我們還需要論證當(dāng)，確有三個不同的零點(diǎn)，這可以通過零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性來判斷.

詳解：（1）依題意，函數(shù)的定義域為，

，.

因為曲線在處的切線與在處的切線相互平行，

所以在有解，即方程在有解.

方程在有解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有交點(diǎn).

令過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的斜率為，只須.

令切點(diǎn)為，則，又，所以，解得，

于是，所以，的最大值為

（2）由題意，則，

當(dāng)時，∵，

∴在上為增函數(shù)，不符合題意.

當(dāng)時，，令，則

.令的兩根分別為且，

則∵，，∴，

當(dāng)時，，∴，∴在上為增函數(shù)；

當(dāng)時，，∴，∴在上為減函數(shù)；

當(dāng)時，，∴，∴在上為增函數(shù)；

∵，∴在上只有一個零點(diǎn)1，且，.

∴

.

∵，又當(dāng)時，，∴

∴在上必有一個零點(diǎn).

∴

.

∵，又當(dāng)時，，∴.

∴在上必有一個零點(diǎn).

綜上所述，故的取值范圍為.