Question

已知橢圓C：

x2

2

+y2=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，下頂點為A，點P是橢圓上任一點，⊙M是以PF₂為直徑的圓．
（Ⅰ）當⊙M的面積為

π

8

時，求PA所在直線的方程；
（Ⅱ）當⊙M與直線AF₁相切時，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求證：⊙M總與某個定圓相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓方程求得焦點，頂點的坐標，設出點P的坐標，進而表示出|PF₂|的長度進而根據(jù)圓M的面積求得x₁，求得P的坐標，則PA所在的直線方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)點M到直線AF₁的距離求得x₁和y₁的關(guān)系式，進而與橢圓方程聯(lián)立求得x₁，進而求得M的坐標則圓的方程可得．
（Ⅲ）首先表示出OM的長度，以及圓M的半徑，進而求得OM=r₁-r₂，推斷出⊙M和以原點為圓心，半徑為r₁=

2

（長半軸）的圓相內(nèi)切．

解答：解：（Ⅰ）易得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），A（0，-1），設點P（x₁，y₁），
則PF22=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+1-

x12

2

=

1

2

(x1-2)2，
所以PF2=

2

-

2

2

x1
又⊙M的面積為

π

8

，∴

π

8

=

π

8

(x1-2)2，
解得x₁=1，∴P(1，

2

2

)或(1，-

2

2

)，
∴PA所在直線方程為y=(1+

2

2

)x-1或y=(1-

2

2

)x-1
（Ⅱ）因為直線AF₁的方程為x+y+1=0，且M(

x1+1

2

，

y1

2

)到直線AF₁的距離為

| x1+1 2 + y1 2 +1|

2

=

2

2

-

2

4

x1
化簡得y₁=-1-2x₁，聯(lián)立方程組

y1=-1-2x1 x12 2 +y12=1

，
解得x₁=0或x1=-

8

9

∴當x₁=0時，可得M(

1

2

，-

1

2

)，
∴⊙M的方程為(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

；
當x1=-

8

9

時，可得M(

1

18

，

7

18

)，
∴⊙M的方程為(x-

1

18

)2+(y-

7

18

)2=

169

162

（Ⅲ）⊙M始終和以原點為圓心，半徑為r₁=

2

（長半軸）的圓（記作⊙O）相切
證明：因為OM=

(x1+1)2 4 + y12 4

=

(x1+1)2 4 + 1 4 - x12 8

=

2

2

+

2

4

x1，
又⊙M的半徑r₂=MF₂=

2

2

-

2

4

x1，
∴OM=r₁-r₂，∴⊙M和⊙O相內(nèi)切．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法．