Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=1，a₂=a（a為實數(shù)），且，其中n=1，2，3，…

   （Ⅰ）求證：“若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則數(shù)列{b_n}也是等比數(shù)列”是真命題；

   （Ⅱ）寫出（Ⅰ）中命題的逆命題；判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.

Answer 1

（I）證明見解析

   （II）逆命題是：若是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列，是假命題.

解析:

（I）因為是等比數(shù)列，

         又…………………………………………2分

        

         ∴是以a為首項，為公比的等比數(shù)列.………………………………6分

   （II）（I）中命題的逆命題是：若是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列，是假命題.

                           ……………………………………………………………8分

         設(shè)的公比為則

         又

         是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列，

         是以為首項，q為公比的等比數(shù)列.……………………10分

         即為1，a，q，aq，q²，aq²，…

         但當(dāng)q≠a²時，不是等比數(shù)列

         故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分

         另解：取a=2，q=1時，

        

         因此是等比數(shù)列，而不是等比數(shù)列.

         故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分