Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足b_n=2log₂（a_n+1-n），證明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＞對一切n∈N^*恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對關(guān)系式a_n+1=a_n+2ⁿ+1整理可得到數(shù)列{a_n-2ⁿ}為等差數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列{a_n-2ⁿ}的通項公式，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)列{a_n}的通項公式可得到b_n的表達(dá)式，然后代入到（1+）（1+）（1+）…（1+）中，利用數(shù)學(xué)歸納法來進(jìn)行證明．
解答：解：（1）（a_n+1-2ⁿ⁺¹）-（a_n-2ⁿ）=a_n+1-a_n-2ⁿ=1
故數(shù)列{a_n-2ⁿ}為等差數(shù)列，且公差d=1．
a_n-2ⁿ=（a₁-2）+（n-1）d=n-1，a_n=2ⁿ+n-1；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ+n-1，∴b_n=2log₂（a_n+1-n）=2_n
（）（）（）…（）
=（1+）（1+）…（1+）＞
（1）當(dāng)n=1時，（1+）=＞=，不等式成立，
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時不等式成立，
即（1+）（1+）（1+）＞，
那么當(dāng)n=k+1時，
（1+）（1+）（1+）（1+）
＞（1+）==
==＞
===
這說明，當(dāng)n=k+1時不等式也成立
綜上可知，對于Vn∈N^*，原不等式均成立．
點評：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野．