(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分.
已知的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線:上運(yùn)動(dòng),
(1). 求的焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2). 若點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn), 且 ,點(diǎn)在上,且 ,
求點(diǎn)的軌跡方程;
(3). 試研究: 是否存在一條邊所在直線的斜率為的正三角形,若存在,求出這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng),若不存在,說(shuō)明理由.
(1) 【解】. 由得 所以,焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ……3分
(2) 【解1】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,邊所在的方程為(顯然存在的),與拋物線交于
則得, ……5分
又點(diǎn)在拋物線上,故有,
或(舍)
-------① ……7分
又的斜率為,則有 ,既代入①
故點(diǎn)軌跡為 (注:沒(méi)寫扣1分) ……9分
另解:由上式①過(guò)定點(diǎn), ,
所以, , 既
【解2】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,方程為,由得方程為
,則得, 同理可得
方程為恒過(guò)定點(diǎn),
,
所以, , 既
(注:沒(méi)寫扣1分)
(其他解法,可根據(jù)【解1】的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分)
(3) 【解1】
若存在邊所在直線的斜率為的正三角形,設(shè),
(其中不妨設(shè)), 則 , ------① ……11分
令,則,即
將①代入得,,
-----------------② ……13分
線段的中點(diǎn)為,由①, ②得的橫坐標(biāo)為,
的縱坐標(biāo)為 ……15分
又設(shè) 由得
點(diǎn)在拋物線上,則,即,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412494720312528/SYS201205241252295937405138_DA.files/image064.png"> , ……18分
設(shè),
的三邊所在直線的斜率分別是
------① ……12分
若邊所在直線的斜率為,邊所在直線和軸的正方向所成角為
,則,
所以 ……14分
即-----②
又--------------③ ……16分
所以,
將②, ③代入上式得邊長(zhǎng) ……18分
(其他解法,可根據(jù)【解1】的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分)
【解析】略
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本題滿分18分,其中第1小題5分,第2小題5分,第3小題8分)
在平面直角坐標(biāo)系中,已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中且.設(shè).
(1)若,,,求方程在區(qū)間內(nèi)的解集;
(2)若點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)且法向量為的直線上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榧?img width=21 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/18/333018.gif" >,不等式的解集為集合. 若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;
(3)根據(jù)本題條件我們可以知道,函數(shù)的性質(zhì)取決于變量、和的值. 當(dāng)時(shí),試寫出一個(gè)條件,使得函數(shù)滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且在處取得最小值”.(說(shuō)明:請(qǐng)寫出你的分析過(guò)程.本小題將根據(jù)你對(duì)問(wèn)題探究的完整性和在研究過(guò)程中所體現(xiàn)的思維層次,給予不同的評(píng)分.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海市普陀區(qū)2010屆高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 題型:解答題
(本題滿分18分,其中第1小題5分,第2小題5分,第3小題8分)
在平面直角坐標(biāo)系中,已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中且.設(shè).
(1)若,,,求方程在區(qū)間內(nèi)的解集;
(2)若點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)且法向量為的直線上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榧?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/89/5/a05qa.gif" style="vertical-align:middle;" />,不等式的解集為集合. 若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;
(3)根據(jù)本題條件我們可以知道,函數(shù)的性質(zhì)取決于變量、和的值. 當(dāng)時(shí),試寫出一個(gè)條件,使得函數(shù)滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且在處取得最小值”.(說(shuō)明:請(qǐng)寫出你的分析過(guò)程.本小題將根據(jù)你對(duì)問(wèn)題探究的完整性和在研究過(guò)程中所體現(xiàn)的思維層次,給予不同的評(píng)分.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高三教學(xué)質(zhì)量測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.
(文)已知數(shù)列中,
(1)求證數(shù)列不是等比數(shù)列,并求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)任意恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高三教學(xué)質(zhì)量測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
本小題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.
設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)?i>R的奇函數(shù).
(1)求k值;
(2)(文)當(dāng)時(shí),試判斷函數(shù)單調(diào)性并求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;
(理)若f(1)<0,試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式恒成立的的取值范圍;
(3)若f(1)=,且g(x)=a 2x+a - 2x-2m f(x) 在[1,+∞)上的最小值為-2,求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海市普陀區(qū)2010屆高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 題型:解答題
(本題滿分18分,其中第1小題5分,第2小題5分,第3小題8分)
在平面直角坐標(biāo)系中,已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中且.設(shè).
(1)若,,,求方程在區(qū)間內(nèi)的解集;
(2)若點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)且法向量為的直線上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榧?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052111495710937700/SYS201205211152429218217731_ST.files/image019.png">,不等式的解集為集合. 若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;
(3)根據(jù)本題條件我們可以知道,函數(shù)的性質(zhì)取決于變量、和的值. 當(dāng)時(shí),試寫出一個(gè)條件,使得函數(shù)滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且在處取得最小值”.(說(shuō)明:請(qǐng)寫出你的分析過(guò)程.本小題將根據(jù)你對(duì)問(wèn)題探究的完整性和在研究過(guò)程中所體現(xiàn)的思維層次,給予不同的評(píng)分.)
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