Question

9．給出定義：若 m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）的定義域是R，值域是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
③數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；
④函數(shù)y=f（x）在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)；
則其中正確命題是①④（填序號(hào)）．

Answer 1

分析 依據(jù)函數(shù)定義，得到f（x）=x-{x}∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，再對(duì)四個(gè)命題逐個(gè)驗(yàn)證后，即可得到正確結(jié)論

解答 解：由題意知，{x}-$\frac{1}{2}$＜x≤{x}+$\frac{1}{2}$，
則得到f（x）=x-{x}∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，則命題①為真命題；
由于k∈Z時(shí)，f（k）=k-{k}=k-k=0，但由于f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
故函數(shù)不是中心對(duì)稱圖形，故命題③為假命題；
由于{x}-$\frac{1}{2}$＜x≤{x}+$\frac{1}{2}$，則得到f（x）=x-{x}為分段函數(shù)，且在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]為增函數(shù)，故命題④為真命題．
進(jìn)而可得：函數(shù)圖象不可能關(guān)于y軸對(duì)稱，故命題②為假命題；
正確的命題為①④
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是，判斷命題真假，我們可以根據(jù)給定函數(shù)的定義對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，屬于中檔題