Question

已知橢圓和圓，左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為A，B，且F是橢圓C₁的右焦點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P是曲線C₂上位于第二象限的一點(diǎn)，且△APF的面積為，求證：AP⊥OP；
（2）點(diǎn)M和N分別是橢圓C₁和圓C₂上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍，求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

證明：（1）設(shè)曲線C₂上的點(diǎn)P（x₀，y₀），且x₀＜0，y₀＞0，由題意A（-，0），F(xiàn)（1，0）
∵△APF的面積為，∴=
∴，
∴=•=0
∴AP⊥OP；
（2）設(shè)直線BM的斜率為k，則直線BN的斜率為2k，又兩直線都過(guò)點(diǎn)B（0，-1）
∴直線BM的方程為y=kx-1，直線BN的方程為y=2kx-1
將y=kx-1代入橢圓方程，消元可得（1+2k²）x²-4kx=0，∴，∴
∴M（，）
同理N（，）
∴直線MN的斜率為=-
∴直線MN的方程為y-=-（x-）
整理得y=-x+1
∴直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）
分析：（1）設(shè)曲線C₂上的點(diǎn)P（x₀，y₀），利用△APF的面積為，可求P的坐標(biāo)，計(jì)算=0，即可證得結(jié)論；
（2）設(shè)直線BM、BN的方程為y=2kx-1，代入橢圓方程，求得M，N的坐標(biāo)，計(jì)算直線MN的斜率，可得直線MN的方程，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，確定點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．