Question

已知sin（π-α）=

4

5

，α∈(0，

π

2

)．
（1）求sin2α的值；
（2）求函數(shù)f（x）=

5

3

cosαsin2x-cos2x的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式利用誘導公式化簡求出sinα的值，利用同角三角函數(shù)間基本關系求出cosα的值，原式利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入計算即可求出值；
（2）將cosα的值代入f（x），再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解（1）∵sin（π-α）=sinα=

4

5

，且α∈（0，

π

2

），
∴cosα=

1-sin2α

=

3

5

，
則sin2α=2sinαcosα=

24

25

；
（2）f（x）=

5

3

×

3

5

sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．

點評：此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．