Question

19．已知函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，f^-1（x）是它的反函數(shù)，點(diǎn)A（-1，3）和點(diǎn)B（1，1）均在函數(shù)f（x）的圖象上，則不等式|f^-1（2^x）|＜1的解集為（　�。�

• A． （-1，1）
• B． （1，3）
• C． （0，log₂3）
• D． （1，log₂3）

Answer 1

分析 由已知結(jié)合互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象間的關(guān)系可得f^-1（3）=-1，f^-1（1）=1，再由|f^-1（2^x）|＜1，得
-1＜f^-1（2^x）＜1，即f^-1（3）＜f^-1（2^x）＜f^-1（1），再由函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為指數(shù)不等式求解．

解答 解：∵點(diǎn)A（-1，3）和點(diǎn)B（1，1）在圖象上，
∴f（-1）=3，f（1）=1，又f^-1（x）是f（x）的反函數(shù)，
∴f^-1（3）=-1，f^-1（1）=1，
由|f^-1（2^x）|＜1，得-1＜f^-1（2^x）＜1，
即f^-1（3）＜f^-1（2^x）＜f^-1（1），
函數(shù)f（x）為R的減函數(shù)，∴f^-1（x）是定義域上的減函數(shù)，
則1＜2^x＜3，解得：0＜x＜log₂3．
∴不等式|f^-1（2^x）|＜1的解集為（0，log₂3）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查了互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象間的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題．