【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，離心率為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交橢圓于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與線段和橢圓短軸分別交于兩個(gè)不同點(diǎn)，，且，求的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦長列方程，解方程求得，由此求得橢圓方程.

（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合求得的值，根據(jù)的取值范圍以及弦長公式，求得的最小值.

（1）由題可知：，且，

解得，，.

則橢圓的方程為；

（2）把代入得，

設(shè)，，則，，

又，，

因，所以，即，

所以，

因?yàn)?/span>與線段和橢圓短軸分別交于兩個(gè)不同點(diǎn)，，

所以，又，

則，

故，，

因?yàn)橹本�即與線段及橢圓的短軸分別交于不同兩點(diǎn)，由于，直線過，

所以，即，且，

所以

，

因?yàn)?/span>，且，

所以當(dāng)或時(shí)的最小值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在直三棱柱中,,是的中點(diǎn),.

（1）求證：平面；

（2）若異面直線和所成角為,求四棱錐的體積.

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【題目】定義在上的函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

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【題目】數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線為四葉玫瑰線，下列結(jié)論正確的有（ ）

（1）方程（），表示的曲線在第二和第四象限；

（2）曲線上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過2；

（3）曲線構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于；

（4）曲線上有5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

A.（1）（2）B.（1）（2）（3）

C.（1）（2）（4）D.（1）（3）（4）

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【題目】已知函數(shù)，，．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線在點(diǎn)(1，0)處的切線為l : x＋y－1＝0，求a，b的值；

（3）若恒成立，求的最大值．

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【題目】如圖，已知四邊形為菱形，且，取中點(diǎn)為.現(xiàn)將四邊形沿折起至，使得.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若點(diǎn)滿足，當(dāng)平面時(shí)，求的值.

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【題目】在直角坐標(biāo)系.xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.

（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線C2的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn)，且A，B均異于原點(diǎn)O，且|AB|=4，求α的值.

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【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）若不等式至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】在抗擊新冠肺炎的疫情中，某醫(yī)院從3位女醫(yī)生，5位男醫(yī)生中選出4人參加援鄂醫(yī)療隊(duì)，至少有一位女醫(yī)生入選，其中女醫(yī)生甲和男醫(yī)生乙不能同時(shí)參加，則不同的選法共有種______（用數(shù)字填寫答案）.

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