Question

已知三點(diǎn)A（-2-a,0）,P(-2-a,t),F(a,0),其中a為大于零的常數(shù)，t為變數(shù)，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足·=0，且||=||+2.

（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡;

（2）若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡在x軸上方的部分與圓心在C(a+4,0),半徑為4的圓相交于兩點(diǎn)S、T，求證：C落在以S、T為焦點(diǎn)過(guò)F的橢圓上.

Answer 1

解析：（1）∵·=0,

∴⊥.

又||=||+2，

∴M在以F為焦點(diǎn),以x=-a為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)上.

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y²=4ax.

(2)過(guò)S、T分別作準(zhǔn)線(xiàn)x=-a的垂線(xiàn)，垂足分別為S₁、T₁，設(shè)S（x₁,y₁）,T(x₂,y₂),則|SF|+|TF|=|SS₁|+|TT₁|=x₁+x₂+2a.

由

消去y整理，得x²+(2a-8)x+a(a+8)=0，

∴x₁+x₂=8-2a.

∴|SF|+|TF|=8，

即|SF|+|TF|=|CS|+|CT|.

∴C落在以S、T為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F的橢圓上.