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如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平 面ABCD,PD=AB=2,E,F(xiàn),G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn).
(1)求證:GC⊥平面PEF;
(2)求證:PA∥平面EFG;
(3)求三棱錐P-EFG的體積.

(1)證明:∵PD⊥平面ABCD,GC?平面ABCD,
∴GC⊥PD.
∵ABCD為正方形,∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D,
∴GC⊥平面PCD.
(2)證明:如圖,取AD的中點(diǎn)H,連接GH,F(xiàn)H,
∵E,F(xiàn)分別為PC,PD的中點(diǎn),
∴EF∥CD.
∵G,H分別為BC,AD的中點(diǎn),
∴GH∥CD.
∴EF∥GH.
∴E,F(xiàn),H,G四點(diǎn)共面.
∵F,H分別為DP,DA的中點(diǎn),
∴PA∥FH.
∵PA?平面EFG,F(xiàn)H?平面EFG,
∴PA∥平面EFG.
(3)解:∵,

,

分析:(1):因?yàn)镻D⊥平面ABCD,GC?平面ABCD,所以GC⊥PD.因?yàn)镚C⊥CD且PD∩CD=D所以GC⊥平面PCD.
(2)因?yàn)镋F∥CD且EF∥GH所以E,F(xiàn),H,G四點(diǎn)共面.又因?yàn)镕,H分別為DP,DA的中點(diǎn)所以PA∥FH因?yàn)镻A?平面EFG,F(xiàn)H?平面EFG,所以PA∥平面EFG.
(3)先求出底面的面積,由題意得所以三棱錐的體積為
點(diǎn)評(píng):證明線面垂直關(guān)鍵是證明直線與面內(nèi)的兩條相交直線垂直;證明線面平行關(guān)鍵是證明已知直線與面內(nèi)一條直線平行即可;求三棱錐的體積時(shí)有時(shí)需要換一個(gè)底面積與高都好求的頂點(diǎn),在利用體積公式求出體積即可.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3,PC=CD=2,PC⊥底面ABCD,E為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面PDE⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角C-PD-E的大��;
(Ⅲ)求點(diǎn)B到平面PDE的距離.

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精英家教網(wǎng)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是一個(gè)矩形,AB=3.AD=1.又PA⊥AB,PA=4,
∠PAD=60°.求:
(1)四棱錐P-ABCD的體積.
(2)二面角P-BC-D的正切值.

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(1)求線段PD的長(zhǎng);
(2)若PC=
11
R
,求三棱錐P-ABC的體積.

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(2012•煙臺(tái)一模)如圖所示,四棱錐P-ABCD中,ABCD為正方形,PA⊥AD,E,F(xiàn),G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn).
求證:
(1)BC∥平面EFG;
(2)平面EFG⊥平面PAB.

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如圖所示,四棱錐P-ABCD底面是直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E為PC的中點(diǎn),PA=AD=AB=1.
(1)證明:EB∥平面PAD;
(2)證明:BE⊥平面PDC;
(3)求三棱錐B-PDC的體積V.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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