【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為 為參數(shù)),過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn).

(1)求的取值范圍;

(2)求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程.

【答案】(1) (2) 為參數(shù), ).

【解析】

1)求出曲線和直線的普通方程,通過(guò)直線與圓相交求出斜率的范圍,從而得出傾斜角的范圍;

2)設(shè)出對(duì)應(yīng)的參數(shù),聯(lián)立直線與圓的方程,借助韋達(dá)定理表示的參數(shù),從而得出點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程.

解:(1) 曲線的直角坐標(biāo)方程為,

當(dāng)時(shí),交于兩點(diǎn),

當(dāng)時(shí),記,則的方程為,

交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng),

解得

,

綜上的取值范圍是.

(2)的參數(shù)方程為為參數(shù),),

設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,

滿足

由韋達(dá)定理可得:,

,

又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為為參數(shù), ).

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(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),且,求直線的傾斜角.

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