已知點(diǎn)M在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上,以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)F.
(1)若圓M與y軸相切,求橢圓的離心率;
(2)若圓M與y軸相交于A,B兩點(diǎn),且△ABM是邊長(zhǎng)為2的正三角形,求橢圓的方程.
分析:(1)由題意,應(yīng)該先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)及圓的半徑,利用題中的條件建立方程求解即可;
(2)由題意利用所給的條件信息及(1)中的圓的半徑與a,b的關(guān)系和離心率進(jìn)而求解出橢圓的方程.
解答:解:(1)設(shè)M(x0,y0),圓M的半徑為r.
因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(c,0),圓M與x軸相切于點(diǎn)F,
所以MF⊥x軸,所以x0=c,r=|y0|①
因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上,所以
x02
a2
+
y02
b2
=1

將上式代入上式得
c2
a2
+
r2
b2
=1
r2
b2
=1-
c2
a2
=
a2-c2
a2

因?yàn)閍2-c2=b2所以
r2
b2
=
b2
a2
即:r=
b2
a

又因?yàn)閳AM與y軸相切,所以M到y(tǒng)軸的距離等于半徑r,即:r=|x0|③
由①,②,③得
b2
a
=c
即:b2=ac從而得c2+ac-a2=0
兩邊同除以a2,得:((
c
a
)2+(
c
a
)-1=0
e=
c
a
,e2+e-1=0
解得:e=
-1±
5
2
因?yàn)閑∈(0,1)
            故:e=
5
-1
2

(2)因?yàn)椤鰽BM是邊長(zhǎng)為2的正三角形,所以圓M的半徑r=2,
M到圓y軸的距離d=
3
又由(1)知:r=
b2
a
,d=c
所以,c=
3
,
b2
a
=2
又因?yàn)閍2-b2=c2
從而有a2-2a-3=0解得:a=3或a=-1(舍去)b2=2a=6
所求橢圓方程是:
x2
9
+
y2
6
=1
點(diǎn)評(píng):(1)此問重點(diǎn)考查了利用方程的思想先設(shè)出變量在利用條件進(jìn)行建立方程求解,還考查了橢圓的基本性質(zhì)和學(xué)生的運(yùn)算能力;
(2)此問重點(diǎn)考查了利用所給信息先簡(jiǎn)化變量,還考查了一元二次方程的求解方法.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)M是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的一點(diǎn),過M作斜率分別為k1,k2的直線,交橢圓于A,B兩點(diǎn),且A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則k1k2=-
b2
a2
.類比橢圓的這個(gè)性質(zhì),設(shè)M是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上的一點(diǎn),過M作斜率分別為k1,k2的直線,交雙曲線于A,B兩點(diǎn),且A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則k1•k2=
b2
a2
b2
a2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•青島一模)已知點(diǎn)M在橢圓D:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上,以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn),若圓M與y軸相交于A,B兩點(diǎn),且△ABM是邊長(zhǎng)為
2
6
3
的正三角形.
(Ⅰ)求橢圓D的方程;
(Ⅱ)設(shè)P是橢圓D上的一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線l交x軸于點(diǎn)F(-1,0),交y軸于點(diǎn)Q,若
QP
=2
PF
,求直線l的斜率;
(Ⅲ)過點(diǎn)G(0,-2)作直線GK與橢圓N:
3x2
a2
+
4y2
b2
=1
左半部分交于H,K兩點(diǎn),又過橢圓N的右焦點(diǎn)F1做平行于HK的直線交橢圓N于R,S兩點(diǎn),試判斷滿足|GH|•|GK|=3|RF1|•|F1S|的直線GK是否存在?請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)M在橢圓
x2
36
+
y2
9
=1
上,MP垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線,垂足為P′,并且M為線段PP′的中點(diǎn),求P點(diǎn)的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點(diǎn)M在橢圓D:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上,以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn),若圓M與y軸相交于A,B兩點(diǎn),且△ABM是邊長(zhǎng)為
2
6
3
的正三角形.
(Ⅰ)求橢圓D的方程;
(Ⅱ)設(shè)P是橢圓D上的一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線l交x軸于點(diǎn)F(-1,0),交y軸于點(diǎn)Q,若
QP
=2
PF
,求直線l的斜率;
(Ⅲ)過點(diǎn)G(0,-2)作直線GK與橢圓N:
3x2
a2
+
4y2
b2
=1
左半部分交于H,K兩點(diǎn),又過橢圓N的右焦點(diǎn)F1做平行于HK的直線交橢圓N于R,S兩點(diǎn),試判斷滿足|GH|•|GK|=3|RF1|•|F1S|的直線GK是否存在?請(qǐng)說明理由.

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