Question

定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足以下條件：

① 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)； ② 是偶函數(shù)；

③ 在處的切線與直線垂直.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）即

（2）

【解析】(1)要求a,b,c.需要根據(jù)條件建立三個(gè)關(guān)于a,b,c的方程，恒成立，,得到三個(gè)方程解方程組可求出a,b,c的值。

（2），若存在，使轉(zhuǎn)化為:若存在，使，即存在，使.然后設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可。

解：（1），

∵ 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴，           ()   ……………………1分

由是偶函數(shù)得：，                 …………………2分

又在處的切線與直線垂直，，                          ……………………3分

代入()得：即.    …………………4分

（2）由已知得：若存在，使，即存在，使.

設(shè)，

則，                …………………6分

令＝0，∵，∴，       …………………7分

當(dāng)時(shí)，，∴在上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，

∴在上有最大值.                 ……………………9分

又，∴最小值為. … 11分

于是有為所求.