已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的右頂點為A(1,0),過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1.

(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)點P在拋物線C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在點P處的切線與C1交于點M,N.當(dāng)線段AP的中點與MN的中點的橫坐標(biāo)相等時,求h的最小值.

（1）+x2=1  （2）1

解析解:(1)由題意,得
從而
因此,所求的橢圓方程為+x2=1.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
P(t,t2+h),
則拋物線C2在點P處的切線斜率為
y′|x=t=2t,
直線MN的方程為:
y=2tx-t2+h.
將上式代入橢圓C1的方程中,
得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,
即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①
因為直線MN與橢圓C1有兩個不同的交點,
所以①式中的
Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.②
設(shè)線段MN的中點的橫坐標(biāo)是x3,
則x3==.
設(shè)線段PA的中點的橫坐標(biāo)是x4,
則x4=.
由題意,得x3=x4,
即t2+(1+h)t+1=0.③
由③式中的
Δ2=(1+h)2-4≥0,
得h≥1或h≤-3.
當(dāng)h≤-3時,h+2<0,4-h2<0,
則不等式②不成立,
所以h≥1.
當(dāng)h=1時,代入方程③得t=-1,
將h=1,t=-1代入不等式②,檢驗成立.
所以h的最小值為1.

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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求·的取值范圍;
(3)若B點關(guān)于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.

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