Question

已知函數(shù)y=x+有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0,那么該函數(shù)在(0，］上是減函數(shù)，在［,+∞)上是增函數(shù).

(1)如果函數(shù)y=x+(x＞0)的值域?yàn)椋?,+∞)，求b的值；

(2)研究函數(shù)y=x²+(常數(shù)c＞0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；

(3)對函數(shù)y=x+和y=x²+(常數(shù)a＞0)作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例，研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫出結(jié)論，不必證明)，并求函數(shù)f(x)=(x²+)ⁿ+(+x)ⁿ(n是正整數(shù))在區(qū)間［,2］上的最大值和最小值(可利用你的研究結(jié)論).

Answer 1

解析：(1)函數(shù)y=x+(x＞0)在(0,]上是減函數(shù)，在［,+∞)上是增函數(shù)，

∴該函數(shù)在x=處取得最小值2.

    令2=6得b=log₂9.

(2)方法1：設(shè)t=x²≥0,顯然函數(shù)y=t+在(0,]上是減函數(shù)，在［,+∞)上是增函數(shù).

    令x²≤，得-≤x≤,

    令x²≥,得x≥或x≤-.

    又∵t=x²在(-∞,0]上是減函數(shù)，在［0,+∞)上是增函數(shù)，

    于是利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)y=x²+,在(-∞,-]上是減函數(shù)，在［-,0)上是增函數(shù)，在(0，]上是減函數(shù)，［,+∞)上是增函數(shù).

方法2：∵y′=2x-=2x-,

    令y′=0則x=±,又∴x≠0,

    于是

x	(-∞，-)	-	(-,0)	0	(0,)		(,+∞)
f′(x)	-	0	+		-	0	+
f(x)	↘	極小值	↗		↘	極大值	↗

∴y=x²+(c＞0)的單調(diào)增區(qū)間是［-,0),［,+∞);

    單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-],(0,].

(3)推廣結(jié)論：當(dāng)n是正奇數(shù)時，函數(shù)y=xⁿ+(常數(shù)a＞0)是奇函數(shù)，故在(-∞,-]上是增函數(shù)，在［-,0)上是減函數(shù)，

    在(0,]上是減函數(shù)，在［,+∞)上是增函數(shù).

    而當(dāng)n是正偶數(shù)時，函數(shù)y=xⁿ+(常數(shù)a＞0)是偶函數(shù)，

    在(-∞,-]上是減函數(shù)，在［-,0)上是增函數(shù)，

    在(0,]上是減函數(shù)，在［,+∞)上是增函數(shù).

    當(dāng)x=1時，有最小值(1的任意次冪都是1)，

∴F(x)_min=F(1)=(1+1)ⁿ+(1+1)ⁿ=2ⁿ⁺¹,

F(x)_max=F()=F(2)=()ⁿ+()ⁿ=9ⁿ［()ⁿ+()²ⁿ］.