Question

13．函數(shù)f（x）=ax²-2014x+2015（a＞0），在區(qū)間[t-1，t+1]（t∈R）上函數(shù)f（x）的最大值為M，最小值為N．當t取任意實數(shù)時，M-N的最小值為1，則a=1．

Answer 1

分析 結合二次函數(shù)的圖象可知，當且僅當區(qū)間[t-1，t+1]的中點是對稱軸時，只要滿足[t-1，t+1]上M-N=1成立，則對其它任何情況必成立．

解答 解：因為a＞0，所以二次函數(shù)f（x）的圖象開口向上，
在區(qū)間[t-1，t+1]（t∈R）上函數(shù)f（x）的最大值為M，最小值為N，
當t取任意實數(shù)時，M-N的最小值為1，
只需t=$\frac{1007}{a}$時，f（t+1）-f（t）=1，
即a（t+1）²-2014（t+1）+2015-（at²-2014t+2015）=1，
即2at+a-2014=1，將t=$\frac{1007}{a}$代入得a=1，
故答案為：1．

點評 本題考查了利用函數(shù)的最值研究恒成立問題的思路，同時結合函數(shù)圖象分析問題是關鍵．