Question

11．已知A₁，A₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$長軸的兩個端點，B是它短軸的一個端點，如果$\overrightarrow{B{A_1}}$與$\overrightarrow{B{A_2}}$的夾角不小于$\frac{2π}{3}$，則該橢圓的離心率的取值范圍是$[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，1）$．

Answer 1

分析 利用向量夾角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：取A₁（-a，0），A₂（a，0），B（0，b）．
$\overrightarrow{B{A_1}}$=（-a，-b），$\overrightarrow{B{A_2}}$=（a，-b）．
∵$\overrightarrow{B{A_1}}$與$\overrightarrow{B{A_2}}$的夾角不小于$\frac{2π}{3}$，
∴$cos＜\overrightarrow{B{A}_{1}}，\overrightarrow{B{A}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{B{A}_{1}}•\overrightarrow{B{A}_{2}}}{|\overrightarrow{B{A}_{1}}||\overrightarrow{B{A}_{2}}|}$=$\frac{-{a}^{2}+^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$≤$cos\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
化為：a²≥3b²．
∴e=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又0＜e＜1．
∴e∈$[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，1）$．
故答案為：$[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，1）$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量夾角公式、數(shù)量積運算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．